Question

在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且满足﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2，令t=b²﹣2b+，试求出t的取值范围．

Answer 1

（1）y=；（2）当k≠时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”；（3）t＞．

解析试题分析：（1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分三种情况进行讨论即可；
（3）先将A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）代入y=ax²+bx+1，得到ax₁²+（b﹣1）x₁+1=0，ax₂²+（b﹣1）x₂+1=0，根据方程的解的定义可知x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b﹣1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系可得x₁+x₂=，x₁•x₂=，则（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4x₁•x₂==4，整理得出b²﹣2b=（2a+1）²﹣2，则t=b²﹣2b+=（2a+1）²+．再由﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2，得出﹣4＜x₂＜4，﹣8＜x₁•x₂＜8，即﹣8＜＜8，又a＞0，解不等式组得出a＞，进而求出t的取值范围．
试题解析：（1）∵点P（2，m）是“梦之点”，
∴m=2，
∵点P（2，2）在反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上，
∴n=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），
则有x=3kx+s﹣1，
整理，得（3k﹣1）x=1﹣s，
当3k﹣1≠0，即k≠时，解得x=；
当3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=，s=1时，x有无穷多解；
当3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=，s≠1时，x无解；
综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”；
（3）∵二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
∴x₁=ax₁²+bx₁+1，x₂=ax₂²+bx₂+1，
∴ax₁²+（b﹣1）x₁+1=0，ax₂²+（b﹣1）x₂+1=0，
∴x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b﹣1）x+1=0的两个不等实根，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4x₁•x₂=（）²﹣4×==4，
∴b²﹣2b=4a²+4a﹣1=（2a+1）²﹣2，
∴t=b²﹣2b+=（2a+1）²﹣2+=（2a+1）²+．
∵﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2，
∴﹣4＜x₂＜0或0＜x₂＜4，
∴﹣4＜x₂＜4，
∴﹣8＜x₁•x₂＜8，
∴﹣8＜＜8，
∵a＞0，
∴a＞
∴（2a+1）²+＞+=，
∴t＞．
考点：二次函数综合题．