Question

16．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=-$\frac{4}{27}$x²+12的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．
（1）点B的坐标为（-9，0），点C的坐标为（9，0）；
（2）过点C作射线CD∥AB，点M是线段AB上的动点，点P是线段AC上的动点，且始终满足BM=AP（点M不与点A，点B重合），过点M作MN∥BC分别交AC于点Q，交射线CD于点N（点 Q不与点P重合），连接PM，PN，设线段AP的长为n，当n＜$\frac{1}{2}$AC时．
①如图2，求证：△PAM≌△NCP；
②求线段PQ的长（用含n的代数式表示）；

Answer 1

分析 （1）将二次函数的解析式写成交点式，即可知道B、C两点的坐标；
（2）①由AB=AC，BM=AP得出CP=AM，由MN∥BC，CD∥AB得出MBCN是平行四边形，从而得出CN=BM=AP，结论不言而喻；
②先证CQ=CN=AP=n，从而PQ=AC-2AP，而AC是可求的．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{4}{27}$x²+12=$-\frac{4}{27}（x-9）（x+9）$，
∴B（-9，0），C（9，0）；
（2）①∵CD∥AB，
∴∠PCN=∠MPA，
∵B（-9，0），C（9，0），
∴BO=CO，
∴AB=AC，
∵MN∥BC，
∴MBCN是平行四边形，
∴BM=CN，
∵BM=AP，
∴CN=AP，AM=CP，
在△MAP和△PCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=CP}\\{∠MAP=∠PCN}\\{AP=CN}\end{array}\right.$，
∴△MAP≌△PCN（SAS）；
②如图2，

∵MN∥BC，AB=AC，
∴BM=CQ，
∵BM=CN=AP=n，
∴PQ=AC-2AP，
∵A（0，12），C（9，0），
∴AC=15，
∴PQ=15-2n．

点评 本题考查了二次函数的交点式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识点，有一定综合性，难度不大．对于全等三角形的判定，一定要先清楚已经具备什么条件，还差什么条件，怎样由所给条件推出想要的条件．熟练掌握五大全等三角形的判定定理是解决问的重要前提．