Question

14．已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间为t（s）．

（1）当t=1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；
（2）当t=2s时，求tan∠QPA的值；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，求t（s）的值；
（4）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当t=2s时，可知P与点B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QPA的值；
（3）用t可表示出BP和AQ的长，由△PBM∽△QAM可得到关于t的方程，可求得t的值；
（4）当点Q在线段OA上时，S=S_△CPQ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S_{四边形BCQM}=S_矩形OABC-S_△COQ-S_△AMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，S=S_△CBM，可求得答案．

解答 解：
（1）当t=1s时，则CP=2，
∵OC=3，四边形OABC是矩形，
∴P（2，3），且A（4，0），
∵抛物线过原点O，
∴可设抛物线解析式为y=ax²+bx，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=3}\\{16a+4b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴过O、P、A三点的抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²+3x；

（2）当t=2s时，则CP=2×2=4=BC，即点P与点B重合，OQ=2，如图1，

∴AQ=OA-OQ=4-2=2，且AP=OC=3，
∴tan∠QPA=$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{2}{3}$；

（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，

则CP=2t，OQ=t，
∴BP=PC-CB=2t-4，AQ=OA-OQ=4-t，
∵PC∥OA，
∴△PBM∽△QAM，
∴$\frac{BP}{AQ}$=$\frac{BM}{AM}$，且BM=2AM，
∴$\frac{2t-4}{4-t}$=2，解得t=3，
∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，t为3s；

（4）当0≤t≤2时，如图3，

由题意可知CP=2t，
∴S=S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×2t×3=3t；
当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图4，

由题意可知PC=2t，OQ=t，则BP=2t-4，AQ=4-t，
同（3）可得$\frac{BP}{AQ}$=$\frac{BM}{AM}$=$\frac{2t-4}{4-t}$，
∴BM=$\frac{2t-4}{4-t}$•AM，
∴3-AM=$\frac{2t-4}{4-t}$•AM，解得AM=$\frac{12-3t}{t}$，
∴S=S_{四边形BCQM}=S_矩形OABC-S_△COQ-S_△AMQ=3×4-$\frac{1}{2}$×t×3-$\frac{1}{2}$×（4-t）×$\frac{12-3t}{t}$=24-$\frac{24}{t}$-3t；
当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5，

由题意可知OQ=t，AQ=t-4，
∵AB∥OC，
∴$\frac{AM}{OC}$=$\frac{AQ}{OQ}$，即$\frac{AM}{3}$=$\frac{t-4}{t}$，解得AM=$\frac{3t-12}{t}$，
∴BM=3-$\frac{3t-12}{t}$=$\frac{12}{t}$，
∴S=S_△BCM=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{12}{t}$=$\frac{24}{t}$；
综上可知S=$\left\{\begin{array}{l}{3t（0≤t≤2）}\\{24-\frac{24}{t}-3t（2＜t≤4）}\\{\frac{24}{t}（t＞4）}\end{array}\right.$．

点评 本题为二次函数与四边形的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数的定义、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得P点坐标是解题的关键，在（2）中确定P、B重合是解题的关键，在（3）中由相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键，在（4）中确定出P、Q的位置，从而确定出S为哪一部分图形的面积是解题的关键．本题为“运动型”问题，用t和速度表示出相应线段的长度，化“动”为“静”是解这类问题的一般思路．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，情况较多，难度较大．