Question

14．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax²+bx-75，其图象如图所示．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该商品每天的销售利润不低于16元？
（3）若点A关于原点的对称点为点C，求△OBC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得二次函数解析式，根据顶点坐标，可得答案；
（2）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案；
（3）根据题意求出点B、点C的坐标，再根据面积公式计算即可．

解答 解：（1）将点A（7，16）、（5，0）代入y=ax²+bx-75，
得：$\left\{\begin{array}{l}{49a+7b-75=16}\\{25a+5b-75=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=20}\end{array}\right.$，
故抛物线解析式为：y=-x²+20x-75=-（x-10）2+25，
当x=10是，y取得最大值25，
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；

（2）∵函数y=-x²+20x-75图象的对称轴为直线x=10，
可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），
又∵函数y=-x²+20x-75图象开口向下，
∴当7≤x≤13时，y≥16．
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元；

（3）点A（7，16）关于原点的对称点为点C坐标为（-7，-16），
在y=-x²+20x-75中，当y=0时有-x²+20x-75=0，
解得：x=5或x=15，
∴点B坐标为（15，0），
故S_△OBC=$\frac{1}{2}$×15×16=120．

点评 本题考查了待定系数求二次函数解析式、二次函数的图象与性质及三角形面积求法，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．