Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°．按以下步骤作图：

①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；

②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；

③作射线AG交BC边于点D．

则∠ADC的度数为________．

Answer 1

65°
分析：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．
解答：解：解法一：连接EF．
∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，
∴AF=AE；
∴△AEF是等腰三角形；
又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
∴AG是线段EF的垂直平分线，
∴AG平分∠CAB，
∵∠CAB=50°，
∴∠CAD=25°；
在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，
∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50°，
∴∠CAD=25°；
在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，
∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
故答案是：65°．
点评：本题综合考查了作图--复杂作图，直角三角形的性质．根据作图过程推知AG是∠CAB平分线是解答此题的关键．