Question

5．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OB=6，tan∠ABO=$\frac{1}{3}$，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，若△CEF∽△COD，求t的值；
②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先在Rt△AOB中利用正切的定义可求出OA=$\frac{1}{3}$OB=2，再根据旋转的性质得∠BOC=∠AOD=90°，OC=OB=6，OD=OA=2，则A、B、C的坐标分别为（2，0），（0，6）（-6，0），然后设交点式，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-2，则E点的坐标为（-2，0），再根据相似三角形的性质得∠CEF=∠COD=90°，则可判断点P为抛物线的顶点，所以t=-2；
②先利用待定系数法求出直线CD的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+2，过点P作PM∥y轴交CD于M，如图2，则P（t，-$\frac{1}{2}$t²-2t+6），M（t，$\frac{1}{3}$t+2），所以PM=-$\frac{1}{2}$t²-2t+6-（$\frac{1}{3}$t+2）=-$\frac{1}{2}$t²-$\frac{7}{3}$t+4，然后利用S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN得到S_△PCD=-$\frac{3}{2}$t²-7t+12，于是可根据二次函数的性质确定△PCD的面积的最大值．

解答 解：（1）如图1，
在Rt△AOB中，∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{3}$，
∴OA=$\frac{1}{3}$OB=2，
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴∠BOC=∠AOD=90°，OC=OB=6，OD=OA=2，
∴A、B、C的坐标分别为（2，0），（0，6）（-6，0）．
设抛物线解析式为y=a（x+6）（x-2），
把（0，6）代入得a•6•（-2）=6，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+6）（x-2），即y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+6；
（2）①抛物线的对称轴为直线x=-2，则E点的坐标为（-2，0），
∵△CEF∽△COD，
∴∠CEF=∠COD=90°，
∴FE⊥x轴，
∴点E、F、P都在直线x=-2上，
∴点P为抛物线的顶点，
∴t=-2；
②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意得$\left\{\begin{array}{l}-6k+b=0\\ b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{3}\\ b=2\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+2，
过点P作PM∥y轴交CD于M，如图2，则P（t，-$\frac{1}{2}$t²-2t+6），M（t，$\frac{1}{3}$t+2），
∴PM=-$\frac{1}{2}$t²-2t+6-（$\frac{1}{3}$t+2）=-$\frac{1}{2}$t²-$\frac{7}{3}$t+4，
∵S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN，
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$•6•PM=-$\frac{3}{2}$t²-7t+12=-$\frac{3}{2}$（t+$\frac{7}{3}$）²+$\frac{121}{6}$，
∵-6＜t＜0，且a=-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当t=-$\frac{7}{3}$时，S_△PCD有最大值，最大值为$\frac{121}{6}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求函数解析式；能灵活运用相似三角形性质和锐角函数的定义；会利用面积的和差计算不规则图形的面积；理解坐标与图形性质．