Question

已知，∠AOB及∠AOB内任意一射线OC．小明在OC上取一点P，过P作PD∥OA交OB于D，取OP中点E，连接DE并延长交OA于点F．于是他说四边形ODPF是平行四边形，
（1）小明为什么说它是平行四边形？请你给证明一下．
（2）要使四边形ODPF是矩形，已知还需给出什么条件？条件是______．
（3）要使四边形ODPF是菱形，已知还需给出什么条件？条件是______．

Answer 1

（1）证明：∵E为OP的中点，
∴OE=EP，
∵PD∥OA，
∴∠PDE=∠PFE，
在△PDE和△OFE中

∠PDE=∠OFE ∠DEP=∠FEO PE=OE

∴△PDE≌△OFE（AAS），
∴DE=EF，
∵OE=EP，
∴四边形ODPF是平行四边形；

（2）∠AOB=90°，
理由是：∵四边形ODPF是平行四边形，∠AOB=90°，
∴平行四边形ODPF是矩形，
故答案为：∠AOB=90°；

（3）OC平分∠AOB，
理由是：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PD∥OA，
∴∠DPO=∠COA，
∴∠BOC=∠DPO，
∴OD=DP，
∵四边形ODPF是平行四边形，
∴平行四边形ODPF是菱形，
故答案为：OC平分∠AOB．