Question

如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA和AB边所在的直线的解析式分别为：y=x和y=-x+．D、E分别为边OC和AB的中点，P为OA边上一动点（点P与点O不重合），连接DE和CP，其交点为Q．
（1）求证：点Q为△COP的外心；
（2）求正方形OABC的边长；
（3）当⊙Q与AB相切时，求点P的坐标．

Answer 1

（1）证明：∵D、E分别为正方形OABC中OC、AB的中点，
∴DE∥OA．
∴Q也是CP的中点．
又∵CP是Rt△COP的斜边，
∴点Q为△COP的外心．

（2）解：由方程组
解得，
∴点A的坐标为（，）．
过点A作AF⊥Ox轴，垂足为点F．
∴OF=，AF=．
由勾股定理，得OA==．
∴正方形OABC的边长为．

（3）解：如图，当△COP的外接圆⊙Q与AB相切时，
∵圆心Q在直线DE上，DE⊥AB，
∴E为⊙Q与AB相切的切点．
又∵AE和APO分别是⊙Q的切线与割线，
∴AE²=AP•AO．
∵OA=，AE=OA，
∴AP=OA=，
∴当⊙Q与AB相切时，OP=-=，
作PH⊥Ox轴，垂足为H．
∵PH∥AF，∴
∴OH==，
PH==
∴点P的坐标为（，）．
分析：（1）要证点Q为△COP的外心，需证QC=QP=QO，而△COP中，DQ为中位线，则即可得证；
（2）由OA和AB边的解析式求出A点坐标，由两点之间坐标公式求出OA的长，即正方形边长；
（3）当⊙Q与AB相切时，作出⊙Q，由切线和割线的关系，求出P点坐标．
点评：本题考查的问题较为复杂，是一次函数和几何知识相结合的问题，同学们要注意几何知识的熟练掌握．