Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB在x轴上，D点y轴上，∠C=60°，BC=6，B点坐标为（4，0）．点M是边AD上一点，且DM：AD=1：3．点E、F分别从A、C同时出发，以1厘米/秒的速度分别沿AB、CB向点B运动（当点F运动到点B时，点E随之停止运动），EM、CD的延长线交于点P，FP交AD于点Q．⊙E半径为，设运动时间为x秒．
（1）求直线BC的解析式；
（2）当x为何值时，PF⊥AD；
（3）在（2）问条件下，⊙E与直线PF是否相切？如果相切，加以证明，并求出切点的坐标；如果不相切，说明理由．

Answer 1

解：（1）．

（2）∵PF⊥AD，AD∥BC
∴PF⊥BC
∵∠C=60°，
∴∠CPF=30°
∴，
又∵△PDM∽△EAM，且DM：AD=1：3，
∴PD：AE=1：2，
又∵AE=x，
∴PD=x，
∵DC=AB=OA+OB=3+4=7，
∴PC=x+7，
又∵CF=x，
∴
∴
∵
∴当时，PF⊥AD．

（3）相切，
过E作PF的垂线，设垂足为G，延长PF交x轴于M，过P作PN∥DA交x轴于N，由于PN∥AD，AD⊥PF，因此NP⊥PF，在直角三角形PNM中，∠PMN=30°，因此MN=2PN=12，那么EM=12-PD-AE=12--=5，那么在直角三角形EGM中，∠PMN=30°，EM=5，因此EG=2.5=r，由此可得出PF与⊙E相切．
求切点即G点坐标时，可过G作x轴的垂线GR⊥BE，
∵∠C=∠DAO=60°，BC=AD=6，
∴AO=3，
∴OE=-3=，
∵EG⊥PF，
∴AD∥GE∥BC，
∴∠GER=60°，
∴ER=EG=，
∴GR=，
∴OR=+=，
∴切点G的坐标为．
分析：（1）已知BC=6，点B的坐标为（4，0），可求出点C的坐标．设直线BC的解析式为y=kx+b，把已知坐标代入可求．
（2）如果PF⊥AD，那么PF与BC也垂直，由此可得出∠CPF=30°，即CF=PC，可用x表示出CF、PC，根据CF，PC的比例关系式可得出关于x的方程，即可求出x的值．
（3）本题只要证E到PF的距离是否为即可．过E作PF的垂线，设垂足为G，延长PF交x轴于M，过P作PN∥DA交x轴于N，由于PN∥AD，AD⊥PF，因此NP⊥PF，在直角三角形PNM中，∠PMN=30°，因此NG=2PN=12，那么EM=12-PD-AE=12--=5，那么在直角三角形EGM中，∠PMN=30°，EM=5，因此EG=2.5=r，由此可得出PF与⊙E相切．
求切点即G点坐标时，可过G作x轴的垂线，即可通过构建的直角三角形，用三角形函数求出G点横坐标和纵坐标，进而可求出切点的坐标．
点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，切线的判定等知识点．
综合性较强，考查学生数形结合的数学思想方法．