Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P作PQ⊥AC于Q，以PQ为边向下作等边三角形PQR．设AP=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，连接RB．
（1）当x=2时，求y的值；
（2）当x取何值时，四边形AQRB是等腰梯形；当x取何值时，四边形PQRB是平行四边形．

Answer 1

解：（1）∵∠A=30°，∠AQP=90°，
∴QP=AP=1．
此时△PQR在△ABC内，y=S_△PQR=；

（2）①∵四边形AQRB是等腰梯形，
∴BR=AQ，∠PBR=∠A=30°．
∵∠APQ=∠RPQ=60°，
∴∠BPR=60°．
又∵PR=PQ，
∴△BPR≌△APQ．
∴BP=AP=．
∴AP==5．
∴当x=5时，四边形AQRB是等腰梯形．
②要使四边形PQRB是平行四边形，则R应在BC上．
∵△PQR是等边三角形，
∴QR=PQ=．
又∵四边形PQRB是平行四边形，
∴BP=QR=．
∴AB=x+=10，
解得．
∴当时，四边形PQRB是平行四边形．
分析：第（1）问比较简单，根据在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半可以直接求出y的值；
第（2）问从特殊四边形的结论出发，去找x的取值，用到了等腰梯形的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质以及方程等知识．
点评：本题是一道综合题，涉及的知识点比较多：直角三角形的性质，平行四边形的性质，等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等．要使四边形PQRB是平行四边形，因为PQ∥BC，所以R必须在边BC上．