Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，DE⊥AB于点E，AC=7cm，△DEB的周长为12cm．
（1）求证：AC=AE；
（2）求△ABC的周长．

Answer 1

（1）证明：∵∠C=90°DE⊥AB，
∴∠C=∠DEA=90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=DA，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC=AE；

（2）解：∵△DEB的周长为12，
∴BD+DE+EB=BD+CD+EB=12，
∴△ABC的周长为：AC+AE+EB+BD+DC=AC+AE+12=26．
分析：（1）由角平分线性质得CD=DE，且有AD=DA，利用“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED即可；
（2）根据（1）中结论CD=DE，将与周长相关的线段转化即可．
点评：本题考查了角平分线性质，全等三角形的证明，关键是明确图形中相等线段，相等角，全等三角形．