Question

10．问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为4$\sqrt{3}$；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m²；过弦AB的中点D作DE⊥AB交$\widehat{AB}$于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

Answer 1

分析 （1）构建Rt△AOD中，利用cos∠OAD=cos30°=$\frac{AD}{OA}$，可得OA的长；
（2）经过矩形对角线交点的直线将矩形面积平分，根据此结论作出PQ，利用勾股定理进行计算即可；
（3）如图3，作辅助线，先确定圆心和半径，根据勾股定理计算半径：
在Rt△AOD中，r²=12²+（r-8）²，解得：r=13根据三角形面积计算高MN的长，证明△ADC∽△ANM，列比例式求DC的长，确定点O在△AMB内部，利用勾股定理计算OM，则最大距离FM的长可利用相加得出结论．

解答 解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×12=6，
∵O是内心，△ABC是等边三角形，
∴∠OAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=$\frac{AD}{OA}$，
∴OA=6÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$；
（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴CQ=AP=3，
过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18-3-3=12，
由勾股定理得：PQ=$\sqrt{P{M}^{2}+M{Q}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+1{2}^{2}}$=12$\sqrt{2}$；
（3）如图3，作射线ED交AM于点C
∵AD=DB，ED⊥AB，$\widehat{AB}$是劣弧，
∴$\widehat{AB}$所在圆的圆心在射线DC上，
假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r-8，AD=$\frac{1}{2}$AB=12，
在Rt△AOD中，r²=12²+（r-8）²，
解得：r=13，
∴OD=5，
过点M作MN⊥AB，垂足为N，
∵S_△ABM=96，AB=24，
∴$\frac{1}{2}$AB•MN=96，
$\frac{1}{2}$×24×MN=96，
∴MN=8，NB=6，AN=18，
∵CD∥MN，
∴△ADC∽△ANM，
∴$\frac{DC}{MN}=\frac{AD}{AN}$，
∴$\frac{DC}{8}=\frac{12}{18}$，
∴DC=$\frac{16}{3}$，
∴OD＜CD，
∴点O在△AMB内部，
∴连接MO并延长交$\widehat{AB}$于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，
∵在$\widehat{AB}$上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，
∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，
即MF＞MG，
过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，
∴OM=$\sqrt{M{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴MF=OM+r=3$\sqrt{5}$+13≈19.71（米），
答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．

点评 本题是圆的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、勾股定理、等边三角形的性质及内心的定义、特殊的三角函数值、矩形的性质等知识，明确在特殊的四边形中将面积平分的直线一定过对角线的交点，本题的第三问比较复杂，辅助线的作出是关键，根据三角形的三角关系确定其最大射程为MF．