Question

如图所示，在四边形ABCD中，M是BC中点，AM、BD互相平分于点O，求证：AM=DC且AM∥DC．

Answer 1

证明：连接DM，如图所示，
∵AM、BD互相平分于点O，即AO=OM，BO=DO，
∴四边形ABMD为平行四边形，
∴AD=BM，AD∥BM，
又M为BC的中点，∴BM=CM，
∴AD=MC，AD∥MC，
∴四边形AMCD为平行四边形，
则AM=DC且AM∥DC．
分析：连接DM，由AM与BD互相平分，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到ABMD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等得到AD与BM平行且相等，由M为BC的中点，得到BM=CM，利用等量代换可得出AD=MC，又AD与MC平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到AMCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，即可得证．
点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，以及线段中点定义，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．