Question

如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上，且DF=

1

4

DC．
（1）求△BEF的周长．
（2）判断BE与EF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质及条件求出ED和DF的值，再由勾股定理就可以求出EF、BE及BF的值，从而可以求出结论．
（2）根据勾股定理的逆定理就可以直接求出△BEF是直角三角形，从而可以得出结论．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=AD=8，∠A=∠B=∠C=∠D=90°                    
∵E是AD的中点，且DF=

1

4

DC∴AE=DE=4，DF=2，CF=6     
∴Rt△ABE，Rt△BCF，Rt△DEF中，由勾股定理得：
BE=

AB2+AE2

=

80

=4

5

，
BF=

BC2+CF2

=

100

=10，
EF=

DE2+DF2

=

20

=2

5

．
∴△BEF的周长=4

5

+2

5

+10，
=6

5

+10；
（2）∵BE=4

5

，BF=10，EF=2

5

，
∴BE²=80，
EF²=20，
BF²=100
∴BE²+EF²=BF²
∴△BEF是直角三角形，
∴∠BEF=90°              
∴BE⊥EF

点评：本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的周长的运用及勾股定理的逆定理的运用．在解答中求出△BEF的三边长的是关键．