Question

已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA₁⊥AB，垂足为A₁，再过A₁作A₁C₁⊥BC，垂足为C₁，过C₁作C₁A₂⊥AB，垂足为A₂，再过A₂作A₂C₂⊥BC，垂足为C₂，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA₁，A₁C₁，C₁A₂，…，则CA₁=

 

，

C8A9

A 9C9

=

 

．

Answer 1

分析：由Rt△ABC中，AC=3，BC=4，利用勾股定理得AB=5，利用平行线的性质得出∠A₁CA=∠C₁A₁C=∠A₂C₁A₁=∠C₂A₂C₁=…=∠C₉A₉C₈，可证△C₉A₉C₈∽△CBA，利用相似比求解．

解答：解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，由勾股定理得AB=5，
∵CA₁⊥AB，∠ACB=90°，
∴△A₁CA∽△CBA，
∴

CA1

BC

=

AC

AB

，
解得CA₁=

12

5

，
由平行线的性质，得∠A₁CA=∠C₉A₉C₈，
∴△C₉A₉C₈∽△CBA，
∴

C8A9

A9C9

=

AB

BC

=

5

4

．
故答案为：

12

5

，

5

4

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是确定对应的锐角相等，确定边的对应关系．