如图1.直线y=$\frac{3}{4}$x+m与x轴.y轴分别交于点A和点B.抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c经过点B.点C的横坐标为4．(1)请直接写出抛物线的解析式,(2)如图2.点D在抛物线上.DE∥y轴交直线AB于点E.且四边形DFEG为矩形.设点D的横坐标为x.矩形DFEG的周长为l.求l与x的函数关系式以及l的最大值,(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．如图1，直线y=$\frac{3}{4}$x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，-1），抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点B，点C的横坐标为4．
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，点D在抛物线上，DE∥y轴交直线AB于点E，且四边形DFEG为矩形，设点D的横坐标为x（0＜x＜4），矩形DFEG的周长为l，求l与x的函数关系式以及l的最大值；
（3）将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A₁O₁B₁，点A、O、B的对应点分别是点A₁、O₁、B₁．若△A₁O₁B₁的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A₁的横坐标．

分析（1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到C点纵坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出l，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到l与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；
（3）根据逆时针旋转角为90°可得A₁O₁∥y轴时，B₁O₁∥x轴，旋转角是180°判断出A₁O₁∥x轴时，B₁A₁∥AB，根据图3、图4两种情形即可解决．

解答解：（1）∵直线l：y=$\frac{3}{4}$x+m经过点B（0，-1），
∴m=-1，
∴直线l的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-1，
∵直线l：y=$\frac{3}{4}$x-1经过点C，且点C的横坐标为4，
∴y=$\frac{3}{4}$×4-1=2，
∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×{4}^{2}+4b+c=2}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{5}{4}}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{4}$x-1；

（2）令y=0，则$\frac{3}{4}$x-1=0，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴点A的坐标为（$\frac{4}{3}$，0），
∴OA=$\frac{4}{3}$，
在Rt△OAB中，OB=1，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{5}{3}$，
∵DE∥y轴，
∴∠ABO=∠DEF，
在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•$\frac{OB}{AB}$=$\frac{3}{5}$DE，
DF=DE•sin∠DEF=DE•$\frac{OA}{AB}$=$\frac{4}{5}$DE，
∴l=2（DF+EF）=2（$\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$）DE=$\frac{14}{5}$DE，
∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），
∴D（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{4}$t-1），E（t，$\frac{3}{4}$t-1），
∴DE=（$\frac{3}{4}$t-1）-（$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{4}$t-1）=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
∴l=$\frac{14}{5}$×（-$\frac{1}{2}$t²+2t）=-$\frac{7}{5}$t²+$\frac{28}{5}$t，
∵l=-$\frac{7}{5}$（t-2）²+$\frac{28}{5}$，且-$\frac{7}{5}$＜0，
∴当t=2时，l有最大值$\frac{28}{5}$．

（3）“落点”的个数有4个，如图1，图2，图3，图4所示．

如图3中，设A₁的横坐标为m，则O₁的横坐标为m+$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{4}$m-1=$\frac{1}{2}$（m+$\frac{4}{3}$）²-$\frac{5}{4}$（m+$\frac{4}{3}$）-1，
解得：m=$\frac{7}{12}$，
如图4中，设A₁的横坐标为m，则B₁的横坐标为m+$\frac{4}{3}$，B₁的纵坐标比例A₁的纵坐标大1，
∴$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{4}$m-1+1=$\frac{1}{2}$（m+$\frac{4}{3}$）²-$\frac{5}{4}$（m+$\frac{4}{3}$）-1，
解得：m=$\frac{4}{3}$，
∴旋转180°时点A₁的横坐标为$\frac{7}{12}$或$\frac{4}{3}$．

点评本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于（3）根据旋转角是90°判断出A₁O₁∥y轴时，B₁O₁∥x轴，旋转角是180°判断出A₁O₁∥x轴时，B₁A₁∥AB，注意要分情况讨论．

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