Question

14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=$\frac{12}{x}$（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B；Q是图象上异于点P的另一点，以Q为圆心、QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D，则线段OA、OB、OC、OD之间的数量关系为OA•OB=OC•OD．

Answer 1

分析 首先过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），由P是反比例函数y=$\frac{12}{x}$（x＞0）图象上任意一点，可得mn=12，又由垂径定理可得OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，则可求得S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=24，同理可得：S_△COD=$\frac{1}{2}$OC•OD=24，即可证得OA•OB=OC•OD．

解答 解：过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），
则OM=m，ON=n，
∵点P是反比例函数y=$\frac{12}{x}$（x＞0）图象上一点，
∴mn=12．
由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×2n×2m=2mn=2×12=24，
同理可得：S_△COD=$\frac{1}{2}$OC•OD=24，
∴S_△COD=S_△AOB=24，
即$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$OC•OD，
∴OA•OB=OC•OD．
故答案为：OA•OB=OC•OD．

点评 此题属于反比例函数的综合题，考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识．此题的核心是考查反比例函数系数的几何意义，对本题而言，若反比例函数系数为k，则可以证明⊙P在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q所形成的⊙Q，此结论依然成立．