Question

16．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，求证：$\frac{CE}{AE}$=$\frac{B{C}^{2}}{A{C}^{2}}$．

Answer 1

分析 由∠ACB=90°，DE⊥AC于E，得到DE∥BC，推出$\frac{CE}{AE}=\frac{BD}{AB}$，由于∠ABC=90°，CD⊥AB于D，∠A为共公角，得到△ACD∽△ABC，推出AC²=AB•AD，在△BCD和△BAC中，同理可得：BC²=BD•AB，证得BC²：AC²=﹙BD•AB﹚：﹙AB•AD﹚=BD：AD于是得到结论．

解答 证明：∵∠ACB=90°，DE⊥AC于E，
∴DE∥BC，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{BD}{AB}$，
∵∠ABC=90°，CD⊥AB于D，∠A为共公角，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC²=AB•AD，
在△BCD和△BAC中，同理可得：BC²=BD•AB，
∴BC²：AC²=﹙BD•AB﹚：﹙AB•AD﹚=BD：AD
又∵BD：AD=CE：AE
∴$\frac{CE}{AE}$=$\frac{B{C}^{2}}{A{C}^{2}}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．