Question

如图，∠XOY=90°，OW平分∠XOY，PA⊥OX，PB⊥OY，PC⊥OW，其中A，B，C为垂足，若OA+OB+OC=1
（1）在射线OX，OY上是否存在点D，使得△OCD为等腰三角形？如果存在，这样的等腰三角形有几个？如果不存在，说明理由．
（2）求OC的长．

Answer 1

分析：（1）存在，因为等腰三角形的腰和底不确定，所以要分两种情况讨论；
（2）先过AP与OW的交点作EF⊥OB，根据已知条件得出∠AEO=∠CEP=45°，再根据sin45°=

AE

OE

=

CP

EP

=

EF

OP

，表示出个边的值，再进行相加，即可得出答案．

解答：解：（1）存在，
理由如下：
∵等腰三角形的腰和底不确定，当OC为底时，作OC的垂直平分线交OX，OY两点此时的△OCD是等腰三角形；
当OC为腰时，分别以O和C为圆心OC长为半径画弧交OX，OY于四点此时的△OCD是等腰三角形；
∴这样的等腰三角形有6个；
（2）过AP与OW的交点作EF⊥OB，
∵∠XOY=90°，OW平分∠XOY，
∴∠AOC=∠COB=45°，
∴∠AEO=∠CEP=45°，
∴sin45°=

AE

OE

=

CP

EP

=

EF

OP

，
∴AE=

2

2

OE，EP=

2

CP，OE=

2

EF，
∵cos45°=

EC

EP

，
∴EC=

2

2

EP，
∵AO=EF，OF+EP=OB，OC=OE+EC，
∴OC=

2

-1．

点评：此题考查了等腰直角三角形，用到的知识点是特殊角的三角函数值，解题的关键是根据角的度数表示出各个边．