Question

在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，
（1）请说明DB=DE的理由．
（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．

Answer 1

解：（1）∵△ABC为等边三角形，D为AC的中点，即BD为AC边上的中线，
∴BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=60°，
∴∠CBD=∠ABC=30°，
∵∠DCE=120°-60°，且CD=CE，∴∠CDE=∠CED=30°，
∴∠CBD=∠CED，∴DB=DE．

（2）作DF⊥BC，AG⊥BC，
垂足分别为F、G，
∵D为AC中点，∴CE=CD=2cm，
∴BE=2cm+4cm=6cm，
AG=AB=2cm，
∵DF⊥BC，AG⊥BC，
∴DF=AG=cm，
∴△BDE的面积S=BE•DF=×6cm×cm=3cm²．
分析：（1）根据等边三角形三线合一的性质可得BD是∠ABC的角平分线，即可得∠CBD=30°，根据三角形外角性质即可得∠DCE=120°-60°，根据CD=CE，可得∠CDE=∠CED=30°，即可得∠CED=∠CBD=30°，即DB=DE．
（2）过D作DF⊥BC，则DF=AG，根据等边三角形的性质可以求得BE的长，根据BE、DF的长即可计算△BDE的面积．
点评：本题考查了等边三角形边长与高线长的关系，考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形三线合一的性质，本题中正确计算DF的值是解题的关键．