Question

如图：割线ABC过圆心O点，且D是

BE

中点，若AB=BO，CE=18，则DE=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,垂径定理,圆周角定理

专题：

分析：设⊙O的半径为R，连接OE，BE，OD，OD交BE于F．先由圆周角定理得出CE⊥BE，由垂径定理的推论得出OD⊥BE，则OD∥CE，从而得出△AOD∽△ACE，△BOF∽△BCE，根据相似三角形对应边成比例求出R=12，OF=9，则DF=OD-OF=12-9=3．再由EF⊥OD，根据勾股定理得出DE²-DF²=EF²=OE²-OF²，将数值代入计算即可求出DE的长．

解答：解：如图，设⊙O的半径为R，连接OE，BE，OD，OD交BE于F．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°，CE⊥BE，
∵D是

BE

中点，
∴OD⊥BE，
∴OD∥CE，
∴△AOD∽△ACE，△BOF∽△BCE，
∴

OD

CE

=

AO

AC

，

OF

CE

=

BO

BC

，
即

R

18

=

2R

3R

，

OF

18

=

R

2R

，
解得R=12，OF=9，
∴DF=OD-OF=12-9=3．
∵EF⊥OD，
∴DE²-DF²=EF²=OE²-OF²，
∴DE²-3²=12²-9²，
解得DE=6

2

（负值舍去）．
故答案为6

2

．

点评：本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．