Question

如图1，矩形OABC的顶点A、B在抛物线y=x²+bx-3上，OC在x上，且OA=3，OC=2．
（1）求抛物线的解析式及抛物线的对称轴．
（2）如图2，边长为a的正方形ABCD的边CD在x轴上，A、B两点在抛物线上，请用含a的代数式表示点B的坐标，并求出正方形边长a的值．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质，可得出点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线y=x²+bx-3可得出b的值，继而得出抛物线的解析式及抛物线的对称轴；
（2）由（1）中求得的解析式，可得出对称轴，从而可得OM=1，CM=

1

2

a，BC=a，得出点B的坐标后代入抛物线解析式，可得a的值．

解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA=3，OC=2，B在第四象限，
∴点B的坐标为（2，-3），
把B点代入y=x²+bx-3，得2²+2b-3=-3，
解得：b=-2，
∴y=x²-2x-3；
对称轴：x=-

b

2a

=1，即直线：x=1．

（2）由（1）得OM=1，
由抛物线的对称性，可得：CM=

1

2

a，
又∵BC=a，
∴点B的坐标为（

1

2

a+1，-a），
把B点代入函数得：（

1

2

a+1）²-2（

1

2

a+1）-3=-a，
解得：a₁=-2

5

-2＜0（舍去），a₂=2

5

-2，
故边长a=2

5

-2．
综上可得点B的坐标为（

1

2

a+1，-a），正方形边长a=2

5

-2．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、抛物线的对称性及正方形的性质，解答本题的关键是数形结合思想的运用，难度一般．