Question

如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA，OC分别在x，y轴上，点D在OA上，且CD=AD．
（1）求直线CD的函数关系式；
（2）求经过B，C，D三点的抛物线的关系式；
（3）在上述抛物线上位于x轴下方的图象上，是否存在一点P，使△PBC的面积等于矩形OABC的面积的

3

5

？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据条件易得OC，OD的长，就可以求出这两点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
（2）B，C，D三点的坐标容以得到，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
（3）矩形OABC的面积可以求出．△PBC的底边BC已知，可以设BC边上的高线，就可表示出三角形的面积．根据△PBC的面积等于矩形OABC的面积的

3

5

，就可以得到关于BC边上的高线的方程，就可以解出高线长．进而求出P点的纵坐标的值．得到P点的坐标．把P点的坐标与抛物线的纵坐标进行比较就可以．

解答：解：
（1）设OD=x，则CD=AD=8-x，
∴（8-x）²=x²+16，
得x=3，所以点D的坐标是（3，0），又点C的坐标是（0，4），
设直线CD的关系式为y=kx+b，
把D，C的坐标代入关系式，有

b=4 3k+b=0

，
∴k=-

4

3

．
∴直线CD的函数关系式是y=-

4

3

x+4．

（2）由题意得B，C，D三点的坐标分别为（8，4），（0，4），（3，0），
设抛物线的关系式为y=ax²+bx+c，则

64a+8b+c=4 c=4 9a+3b+c=0

解得a=

4

15

，b=-

32

15

，c=4．
抛物线的关系式为y=

4

15

x²-

32

15

x+4．

（3）在抛物线上不存在点P，使△PBC的面积等于矩形OABC的面积的

3

5

．
由抛物线的对称性可知，以抛物线顶点为P的△PBC面积最大，
由y=

4

15

x²-

32

15

x+4=

4

15

（x-4）-

4

15

可知，顶点坐标为（4，-

4

15

），
则△PBC的高为4+|-

4

15

|=

64

15

，S_△PBC=

1

2

×8×

64

15

=

256

15

≈17.1，
S_矩形OABC=4×8=32，32×

3

5

=19.2，
因为17.1＜19.2，
所以在抛物线上位于x轴下方的图象上不存在点P，使△PBC的面积等于矩形OABC面积的

3

5

．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，注意数与形的结合是解决本题的关键．