Question

已知关于x的方程k²x²+2（2k-1）x+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据一元二次方程的根的情况的判断方法，可得：△=[2（2k-1）]²-4k²=12k²-16k+4＞0，解不等式即可；
（2）假设存在，由相反数的意义，即方程的两根的和是0，依据一元二次方程的根与系数的关系即可得到两根的和是0，可得k的值；把k的值代入判别式△，判断是否大于0可得结论．

解答：解：（1）∵关于x的方程k²x²+2（2k-1）x+1=0有两个不相等的实数根．
∴△=[2（2k-1）]²-4k²=12k²-16k+4＞0，
解得：k＜

1

3

或k＞1；
（2）∵两个实数根互为相反数，
∴x₁+x₂=-

2(2k-1)

k2

=0，
解得：k=

1

2

，
则△=[2（2k-1）]²-4k²=-1＜0，
∴不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．