Question

4．如图，过正方形顶点A引AE∥BD，且BE=BD，若BE与AD的延长线的交点为F，求证：DF=DE．

Answer 1

分析 连接AC，作BH⊥AE于H，根据正方形的性质求出四边形AGBH是正方形，求出BE=BD=2GB=2BH，∠BEH=30°，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出∠BDE=∠DEA=∠BED=15°，求出∠F的度数即可．

解答 证明：连接AC，作BH⊥AE于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AGB=90°，GA=GB，
∵AE∥BD，BH⊥AE，
∴∠AHB=∠GBH=∠AGB=90°，
∴四边形AGBH是正方形．
由BE=BD=2GB=2BH，
∴∠BEH=30°，
∴∠BDE=∠DEA=∠BED=15°，
又∵∠FDE=90°+45°+15°=150°，
∴∠F=180°-150°-15°=15°，
∴∠F=∠DEF，
∴DF=DE．

点评 本题综合考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，正方形的性质和判定等知识点，此题综合性较强，但难度适中．