Question

如图，已知二次函数y₁=-

1

2

x²+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA，BC，求△ABC的面积；
（3）求点B和点C所在直线的解析式y₂，并根据图象求出当x为何值时，y₁＜y₂．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,待定系数法求二次函数解析式,二次函数与不等式（组）

专题：

分析：（1）由二次函数y₁=-

1

2

x²+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-6）两点，直接利用待定系数法，即可求得这个二次函数的解析式；
（2）首先求得点C的坐标，继而求得△ABC的面积；
（3）首先求得直线BC的解析式，然后联立，可求得交点坐标，继而求得答案．

解答：解：（1）∵二次函数y₁=-

1

2

x²+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-6）两点，
∴

- 1 2 ×22+2b+c=0 c=-6

，
解得：

b=4 c=-6

，
∴这个二次函数的解析式为：y₁=-

1

2

x²+4x-6；

（2）抛物线的对称轴为：x=-

b

2a

=4，
∴C（4，0），
∴AC=4-2=2，
∴S_△ABC=

1

2

AC•OB=

1

2

×2×6=6；

（3）设y₂=mx+n，
∴

4m+n=0 n=-6

，
∴

m= 3 2 n=-6

，
∴y₂=

3

2

x-6，
联立：

y=- 1 2 x+4x-6 y= 3 2 x-6

，
解得：

x=0 y=-6

或

x=5 y= 3 2

，
∴当x＜0或x＞5时，y₁＜y₂．

点评：此题考查了二次函数与x轴的交点问题以及待定系数法求函数的解析式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．