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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，2），C（3，0）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ⊥直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t≤7），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
    （1）写出点B的坐标：
    （3，2）
    （3，2）
    ；
    （2）当t=7时，求直线PQ的解析式，并判断点B是否在直线PQ上；
    （3）求S关于t的函数关系式；
    （4）连接AC．是否存在t，使得PQ分△ABC的面积为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，2），C（3，0），即可求得点B的坐标；
    （2）由A（1，2），可求得直线OA的解析式，又由PQ⊥直线OA，即可设直线PQ的解析式为：y=-
    1
    2
    x+b，又由当t=7时，点P的坐标为（7，0），即可求得直线PQ的解析式，继而可得点B在直线PQ上；
    （3）分别从当0＜t≤3，当3＜t≤5与当5＜t≤7时，去分析求解即可求得答案；
    （4）由题意可得：当3＜t≤5时，S△DEF=
    1
    4
    S△ABC=
    1
    2
    ，当5＜t≤7时，S△BDE=
    1
    4
    S△ABC=
    1
    2
    ，则可得方程，解方程即可求得答案．
    解答：解：（1）∵A（1，2），C（3，0），AB∥OC，BC⊥x轴于点C，
    ∴点B的坐标为：（3，2）；
    故答案为：（3，2）．

    （2）∵设直线OA的坐标为：y=kx，
    ∵A（1，2），
    ∴k=2，
    即直线OA的解析式为：y=2x，
    ∵PQ⊥直线OA，
    ∴设直线PQ的解析式为：y=-
    1
    2
    x+b，
    ∵当t=7时，点P的坐标为（7，0），
    ∴-
    1
    2
    ×7+b=0，
    解得：b=
    7
    2
    ，
    ∴直线PQ的解析式为：y=-
    1
    2
    x+
    7
    2
    ；
    当x=3时，y=2，
    ∴点B在直线PQ上；

    （3）∵直线OA的解析式为：y=2x，
    ∴tan∠POQ=2，即sin∠POQ=
    2
    		5
    5
    ，cos∠POQ=
    		5
    5
    ，
    ∴tan∠OPQ=
    1
    2
    ，
    ∵OP=t，
    ∴OQ=
    		5
    5
    t，PQ=
    2
    		5
    5
    t，
    当t=3时，点P与点C重合，
    当Q与A重合时，即OQ=OA=
    		12+22
    =
    		5
    ，
    ∴
    		5
    5
    t=
    		5
    ，
    解得：t=5；
    当0＜t≤3，S=S△PQO=
    1
    2
    OQ•PQ=
    1
    2
    ×
    		5
    5
    t×
    2
    		5
    5
    t=
    1
    5
    t2；
    当3＜t≤5，如图2，
    ∵PC=t-3，
    ∴CD=PC•tan∠OPQ=
    1
    2
    PC=
    t-3
    2
    ，
    S=S△POQ-S△PCD=
    1
    5
    t2-
    1
    2
    （t-3）×
    t-3
    2
    =-
    1
    20
    t2+
    3
    2
    t-
    9
    4
    ；
    ∴当3＜t≤5，s=
    1
    20
    t2+
    3
    2
    t-
    9
    4
    ；
    当5＜t≤7，如图3，
    ∵CD=
    t-3
    2
    ，
    ∴BD=2-
    t-3
    2
    =
    7-t
    2
    ，
    ∵AB∥x轴，
    ∴∠BED=∠OPQ，
    ∴tan∠BED=
    1
    2
    ，
    ∴BE=2BD=7-t，
    ∴S=S梯形OABC-S△BED=
    1
    2
    ×（2+3）×2-
    1
    2
    ×（7-t）×
    7-t
    2
    =-
    1
    4
    t2+
    7
    2
    t-
    29
    4
    ，
    ∴当5＜t≤7，s=-
    1
    4
    t2+
    7
    2
    t-
    29
    4
    ；

    （4）存在．
    理由：∵S△ABC=
    1
    2
    AB•BC=
    1
    2
    ×2×2=2，
    ∴若使得PQ分△ABC的面积为1：3，
    当3＜t≤5时，S△DEF=
    1
    4
    S△ABC=
    1
    2
    ，
    设AC交PQ于点E，过点E作EF∥DF，
    ∴△CEF∽△CAB，△EDF∽△PDC，
    ∴EF：AB=CF：CB，EF：CP=DF：CD，
    ∵AB=BC，CP=2CD，
    ∴EF=CF，EF=2DF，
    ∴CF=2DF，
    ∴DF=CD=
    t-3
    2
    ，
    ∴EF=2DF=t-3，
    ∴
    1
    2
    ×（t-3）×
    t-3
    2
    =
    1
    2
    ，
    解得：t=3+
    		2
    ；
    当5＜t≤7时，S△BDE=
    1
    4
    S△ABC=
    1
    2
    ，
    即
    1
    2
    ×（7-t）×
    7-t
    2
    =
    1
    2
    ，
    解得：t=7-
    		2
    ；
    综上可得：t1=3+
    		2
    或t2=7-
    		2
    ．
    点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线间的关系以及三角形的面积问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
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    （1）求线段AB所在直线的解析式；
    （2）设四边形OEDB的面积为y，求y关于t的函数关系式，并写出自变量的t的取值范围；
    （3）在运动过程中，存不存在某个时刻，使得以A、E、D为顶点的三角形与△ABO相似，若存在求出这个时刻t，若不存在，说明理由．

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    （2）求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
    （3）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标．

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