Question

8．阅读理解：如图1，点P，Q是双曲线上不同的两点，过点P，Q分别作PB⊥y轴于B点、QA⊥x轴于A点，两垂线的交点为E点，则有$\frac{PE}{PB}$=$\frac{QE}{QA}$，请利用这一性质解决问题．
问题解决：
（1）如图1，如果QE=6，AQ=3，BP=4．填空：PE=8；
（2）如图2，点A，B是双曲线y=$\frac{k}{x}$上不同的两点，直线AB与x轴、y轴相交于点C，D：
①求证：AC=BD．
②已知：直线AB的关系为y=-x+2，CD=4AB．试求出k的值．

Answer 1

分析 （1）根据给定比例$\frac{PE}{PB}$=$\frac{QE}{QA}$，将QE=6、AQ=3、BP=4代入其中即可求出PE的值；
（2）①过点A作y轴的垂线交y轴于点E，过点B作x轴的垂线交x轴于点F，延长EA、FB交于点M，由ME⊥y轴、MF⊥x轴，即可得出△CAE∽△BAM∽△BDF，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AM}$、$\frac{BD}{BA}=\frac{BF}{BM}$，再结合$\frac{AE}{AM}=\frac{BF}{BM}$即可得出$\frac{AC}{AB}=\frac{BD}{BA}$，由此即可证出AC=BD；
②分别将x=0、y=0代入一次函数解析式中即可求出点C、D的坐标，由AE⊥y轴可得出△ACE∽△DCO，再根据相似三角形的性质结合CD=4AB，即可求出点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值．

解答 （1）解：∵$\frac{PE}{PB}$=$\frac{QE}{QA}$，QE=6，AQ=3，BP=4，
∴PE=$\frac{PB•QE}{QA}$=$\frac{4×6}{3}$=8．
故答案为：8．
（2）①证明：过点A作y轴的垂线交y轴于点E，过点B作x轴的垂线交x轴于点F，延长EA、FB交于点M，如图3所示．
∵ME⊥y轴，MF⊥x轴，
∴△CAE∽△BAM∽△BDF，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AM}$，$\frac{BD}{BA}=\frac{BF}{BM}$，
∵$\frac{AE}{AM}=\frac{BF}{BM}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{BD}{BA}$，
∴AC=BD．
证毕．
②当x=0时，y=2，
∴点C（0，2）；
当y=0时，有-x+2=0，
解得：x=2，
∴点D（2，0）．
∵CD=4AB，AC=BD，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{\frac{4-1}{2}}{4}$=$\frac{3}{8}$．
∵AE⊥y轴，
∴AE∥DO，
∴△ACE∽△DCO，
∴$\frac{CE}{CO}=\frac{AC}{DC}$=$\frac{EA}{OD}$，
∵CO=2，OD=2，
∴CE=EA=$\frac{3}{4}$，
∴点A的坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$）．
∵点A在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$=k=$\frac{15}{16}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据相似三角形的性质找出线段与线段之间的关系是解题的关键．