如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C的坐标分别为（0，-$\sqrt{2}$）、（2$\sqrt{2}$，0），将矩形OABC绕点O顺时针旋转45°得到矩形OA′B′C′，边A′B′与y轴交于点D，经过坐标原点的抛物线y=ax2+bx同时经过点A′、C′．分析 （1）求出A、C两点坐标，把A、C两点坐标代入y=ax2+bx解方程组即可．
（2）如图1中，连接A′C′，OB′交于点E．求出点E坐标，根据中点坐标公式即可解决问题．
（3）分两种情形①当OP：PC′=1：3时，P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），求出直线PQ的解析式，利用方程组求出点Q坐标即可．②当OP′：P′C′=3：1时，P′（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），方法类似．
（4）如图3中，当点A在A′B′上时，重叠部分是四边形AMON，是轴对称图形，由OM=AM时，此时$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，解得t=2-$\sqrt{2}$，如图4中，当点B平移到y轴上时，重叠部分是四边形OA′MB是轴对称图形，如图5中，当点B平移到A′B′上时，重叠部分是△A′BM是等腰直角三角形，是轴对称图形，此时由OM=BM，得到$\sqrt{2}$（t-2$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-（t-2$\sqrt{2}$），解得t=2+$\sqrt{2}$，由此即可解决问题．
解答 解：（1）如图1中，
由题意A′（-1，-1），C′（2，-2），把A′（-1，-1），C′（2，-2）代入y=ax2+bx得$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-1}\\{4a+2b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x2+$\frac{1}{3}$x．
（2）如图1中，连接A′C′，OB′交于点E．
∵四边形OA′B′C′是矩形，
∴A′E=EC′，OE=EB′，
∵A′（-1，-1），C′（2，-2），
∴E（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴B′（1，-3）．
（3）如图2中，∵直线PQ将矩形OA′B′C′的面积分为1：3的两部分，
∴OP：PC′=1：3或OP′：P′C′=3：1．
①当OP：PC′=1：3时，P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
直线PQ的解析式为y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{7}}{2}}\\{y=\frac{-3+\sqrt{7}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{7}}{2}}\\{y=\frac{-3-\sqrt{7}}{2}}\end{array}\right.$，
∵点Q在第四象限，
∴Q（$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$，$\frac{-3+\sqrt{7}}{2}$）．
∵D（0，-2），
∴S△ODQ=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$．
②当OP′：P′C′=3：1时，P′（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴直线P′Q′的解析式为y=x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{19}}{2}}\\{y=\frac{-7+\sqrt{19}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{19}}{2}}\\{y=\frac{-7-\sqrt{19}}{2}}\end{array}\right.$，
∴Q′（$\frac{-1+\sqrt{19}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{19}}{2}$），
∴S△ODQ′=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{-1+\sqrt{19}}{2}$=$\frac{\sqrt{19}-1}{2}$．
（4）如图3中，当点A平移到在A′B′上时，重叠部分是四边形AMON，是轴对称图形，由OM=AM时，此时$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，解得t=2-$\sqrt{2}$，
如图4中，当点B平移到y轴上时，重叠部分是四边形OA′MB是轴对称图形，此时t=2$\sqrt{2}$．
如图5中，当点B平移到A′B′上时，重叠部分是△A′BM是等腰直角三角形，是轴对称图形，
此时由OM=BM，得到$\sqrt{2}$（t-2$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-（t-2$\sqrt{2}$），解得t=2+$\sqrt{2}$，
综上所述，矩形OABC与矩形OA′B′C′重叠部分图形为轴对称多边形时，t=2-$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$或2+$\sqrt{2}$≤t＜2$\sqrt{2}$+1．
点评 本题考查二次函数综合题、矩形的性质、三角形的面积、中点坐标公式、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会分类讨论，学会画好图象，利用图象解决问题，属于中考压轴题．
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如图，O是△ABC内任意一点，DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，那么△ABC与△DEF相似吗？说明理由．