Question

5．已知不等式ax²+bx+c＞0的解是α＜x＜β，其中β＞α＞0，求不等式cx²+bx+α＜0的解．

Answer 1

分析 利用已知条件求出cx²+bx+a=0的两根，比较大小，写出解集．

解答 解：由题意知a＜0，且α，β为方程ax²+bx+c=0的两根，则$\left\{\begin{array}{l}{α＜0}\\{α+β=-\frac{b}{a}}\\{αβ=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$，
设cx²+bx+a=0的两根为x，和x₂（x₁＜x₂）则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{c}=\frac{α+β}{αβ}=\frac{1}{β}+\frac{1}{α}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{a}{c}=\frac{1}{αβ}=\frac{1}{α}•\frac{1}{β}}\end{array}\right.$，
∵0＜α＜β，
∴$\frac{1}{β}$＜$\frac{1}{α}$，
∴x₁=$\frac{1}{β}$，x₂=$\frac{1}{α}$，
又∵c＜0，
∴cx²+bx+a＜0，
解集是{x|x₁＜$\frac{1}{β}$或x₂＞$\frac{1}{α}$}．

点评 本题考查一元二次不等式的解，关键是知道一元二次不等式解集和对应的一元二次方程之间解的联系．