Question

【题目】如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=（AB+AD）；②∠ADC+∠B=180°；③CD=CB；④SACE﹣SBCE=SACD．其中正确的是______．

Answer 1

【答案】①②③④．

【解析】

①在AE取点F，使EF＝BE，连接CF．∵AB＝AD＋2BE＝AF＋EF＋BE，EF＝BE，∴AB＝AD＋2BE＝AF＋2BE，∴AD＝AF，∴AB＋AD＝AF＋EF＋BE＋AD＝2AF＋2EF＝2(AF＋EF)＝2AE，∴AE＝(AB＋AD)，故①正确；

②在AB上取点F，使EF＝BE，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC＝∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．又∵∠AFC＋∠CFB＝180°，∴∠ADC＋∠B＝180°，故②正确；

③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，又∵CF＝CB，∴CD＝CB，故③正确；

④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF＝S△ADC，∴S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC，故④正确．综上所述，正确的结论是①②③④，故答案为①②③④．