Question

【题目】（定义）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．请利用“智慧角”的定义解决下列两个问题：

（运用）（1）如图2，已知∠MON=120°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=120°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．

（探究）（2）如图3，已知∠MON=（0°＜＜90°），OP=4，若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，试用含的代数式分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠APB=180°－α，

【解析】

（1）由角平分线求出∠AOP=∠BOP=∠MON=60°，再证出∠OAP=∠OPB，证明△AOP∽△POB，得出对应边成比例，得出OP2=OAOB，即可得出结论；
（2）由∠APB是∠MON的智慧角，得出，证出△AOP∽△POB，得出对应角相等∠OAP=∠OPB，即可得出∠APB=180°-α；过点A作AH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△AOB=OBAH，即可得出S△AOB=8sinα．

运用（1）证明：

∵∠MON=120°，点P为∠MON的平分线上一点，

∴．

∵∠AOP＋∠OAP＋∠APO=180°，

∴．

∵，

∴．

∴∠OAP=∠OPB.

∴△AOP∽△POB.

∴，即OP2=OA·OB，∴∠APB是∠MON的智慧角．

探究（2）∵∠APB是∠MON的智慧角，

∴OP2=OA·OB，即．

∵点P为∠MON的平分线上一点，

∴

∴△AOP∽△POB.

∴∠OAP=∠OPB.

∴∠APB=∠OPB＋∠OPA=∠OAP＋∠OPA=180°－

如图，过点A作AH⊥OB于点H，

∴SAOB=．

∵OP=4，∴．