Question

如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DG⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点G，∠A=35°，⊙O半径为5，求劣弧DG的长．（结果保留π）

Answer 1

（1）证明：连接BD、OD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴AD=DC，
∵AO=OB，
∴DO∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O切线；

（2）解：∵DG⊥AB，OB过圆心O，
∴弧BG=弧BD，
∵∠A=35°，
∴∠BOD=2∠A=70°，
∴∠BOG=∠BOD=70°，
∴∠GOD=140°，
∴劣弧DG的长是=π．
分析：（1）连接BD，OD，求出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线判定推出即可；
（2）求出∠BOD=∠GOB，求出∠BOD的度数，根据弧长公式求出即可．
点评：本题考查了弧长公式，切线的判定，平行线性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．