Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，cotA=

3

4

，点D、E分别是边BC、AC上的点，且∠EDC=∠A，将△ABC沿DE对折，若点C恰好落在AB上，则DE的长为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：把△ABC沿DE对折，点C恰好落在AB的F点处，CF与DE相交于O点，根据折叠的性质得到DE⊥CF，OC=OF，再根据等角的余角相等得∠1=∠EDC，而∠EDC=∠A，则∠1=∠A，所以FC=FA，同理可得FC=FB，于是有CF=

1

2

AB，OC=

1

4

AB，然后根据余切的定义和勾股定理得到BC=4，AB=5，所以OC=

5

4

，
再分别在Rt△OEC和Rt△ODC中，利用余切的定义计算出OE=

5

3

，OD=

15

16

，再计算OE+OD即可．

解答：解：把△ABC沿DE对折，点C恰好落在AB的F点处，CF与DE相交于O点，如图，
∴DE⊥CF，OC=OF，
∵∠EDC+∠OCD=90°，∠1+∠OCD=90°，
∴∠1=∠EDC，
而∠EDC=∠A，
∴∠1=∠A，
∴FC=FA，
同理可得FC=FB，
∴CF=

1

2

AB，
∴OC=

1

4

AB，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，
∴cotA=

AC

BC

=

3

4

，
∴BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∴OC=

5

4

，
在Rt△OEC中，cot∠1=cot∠A=

OC

OE

，即

3

4

=

5 4

OE

，
∴OE=

5

3

，
在Rt△ODC中，cot∠ODC=cot∠A=

OD

OC

，即

OD

5 4

=

3

4

，
∴OD=

15

16

，
∴DE=OD+OE=

15

16

+

5

3

=

125

48

．
故答案为

125

48

．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和锐角三角函数．