Question

如图，在△ABC中，点D、E是边BC上的两点，且AD=AE，若∠BAC=110°，∠DAE=40°．
（1）写出图中所有相似的三角形；
（2）请你选取其中的任何一对加以证明．
（3）若∠BAC=130°，当∠DAE=

80

°时，（1）中的结论仍然成立．

Answer 1

分析：（1）由AD=AE，∠DAE=40°，可求得∠ADE=∠AED=70°，继而可得∠ADB=∠AEC=∠BAC=110°，然后由有两组角对应相等的两个三角形相似，证得△ABC∽△DBA∽△EAC；
（2）由（1），易证得△ABC∽△DBA∽△EAC；
（3）由当∠ADB=∠BAC=130°时，△ABC∽△DBA，即可求得∠DAE的度数．

解答：答：（1）图中相似的三角形有：△ABC∽△DBA∽△EAC．
证明：∵AD=AE，∠DAE=40°，
∴∠ADE=∠AED=

180°-∠DAE

2

=70°，
∴∠ADB=∠AEC=180°-70°=110°，
∴∠BAC=∠ADB=∠AEC，
∵∠B是公共角，
∴△ABC∽△DBA，
∵∠C是公共角，
∴△ABC∽△EAC，
∴△ABC∽△DBA∽△EAC；

（2）选择：△ABC∽△DBA．
证明：∵AD=AE，∠DAE=40°，
∴∠ADE=∠AED=

180°-∠DAE

2

=70°，
∴∠ADB=180°-70°=110°，
∴∠BAC=∠ADB，
∵∠B是公共角，
∴△ABC∽△DBA；

（3）解：若∠BAC=130°，当∠DAE=80°时，（1）中的结论仍然成立．
∵当∠ADB=∠BAC=130°时，△ABC∽△DBA，
∴当∠ADE=180°-∠ADB=50°时，△ABC∽△DBA，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=50°，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=80°．
故答案为：80．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．