Question

31、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S₁、S₂、S₃，请你探索S₁、S₂、S₃之间的关系并说明理由．

Answer 1

分析：先过A作AE∥BC，交CD于E，由于AB∥CD，AE∥BC，易证四边形ABCE是平行四边形，从而有AE=BC，CE=AB，而DC=2AB，易得DE=AB，又由于AE∥BC，那么∠1=∠BCD，而∠ADC+∠BCD=90°，易得∠ADC+∠1=90°，根据三角形内角和定理可求∠DAE=90°，利用勾股定理可得DE²=AD²+AE²，进而有AB²=AD²+BC²，那么S₂=S₁+S₃．

解答：解：S₁、S₂、S₃之间的关系是S₂=S₁+S₃．
过A作AE∥BC，交CD于E，
∵AB∥CD，AE∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AE=BC，CE=AB，
∵DC=2AB，
∴DE=AB，
∵AE∥BC，
∴∠1=∠BCD，
又∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠ADC+∠1=90°，
∴∠DAE=90°，
在Rt△EAD中，由勾股定理，得DE²=AD²+AE²，
即AB²=AD²+BC²，
∴S₂=S₁+S₃．

点评：本题考查了平行四边形的判定和性质、直角三角形的判定、勾股定理．解题的关键是作辅助线AE，构造平行四边形和直角三角形．