Question

如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+n的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且满足m²+n²+2m-8n+17=0．P为线段AB上的一个动点．PO⊥CO，PO=CO．
（1）判断△ABO的形状；
（2）求四边形PBCO的面积；
（3）设C（a，b），写出a，b满足的关系式．

Answer 1

解：（1）∵m²+n²+2m-8n+17=（m+1）²+（n-4）²=0，

∴m=-1，n=4，

∴y=-x+4，

∴A（4，0），B（0，4），即OA=OB=4，

∵∠AOB=90°，

∴△ABO为等腰直角三角形；


（2）∵∠BOC+∠BOP=90°，∠BOP+∠AOP=90°，

∴∠BOC=∠AOP，

在△AOP和△BOC中，

，

∴△AOP≌△BOC（SAS），

∴S_{四边形PBCO}=S_△BOC+S_△BOP=S_△AOP+S_△BOP=S_△AOB=×4×4=8；


（3）如图，分别过C、P两点作x轴的垂线，垂足为D、E，

∵∠COD+∠POE=90°，∠COD+∠OCD=90°，
∴∠POE=∠OCD，
在△CDO和△OEP中，

，

∴△CDO≌△OEP（AAS），

∴OE=CD=b，PE=OD=-a，

∴P（b，-a），

∴-a=-b+4，即b=a+4．
分析：（1）已知等式配方后利用非负数的性质求出m与n的值，确定出一次函数解析式，进而求出A与B的坐标，得到OA=OB，再由AO与BO垂直，即可确定出三角形ABO为等腰直角三角形；
（2）由OP与OC垂直，OA与OB垂直，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由OC=OP，OB=OA，利用SAS得到三角形BOC与三角形AOP全等，得到两三角形面积相等，四边形PBCO的面积=三角形BOC面积+三角形BOP面积，等量代换得到四边形PBCO面积=三角形AOB面积，求出即可；
（3）如图，分别过C、P两点作x轴的垂线，垂足为D、E，由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及OC=OP，利用AAS得到三角形CDO与三角形OEP全等，由全等三角形的对应边相等得到OE=CD=b，PE=OD=-a，表示出P的坐标，代入直线y=-x+4，即可得到a与b的关系式．
点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，配方法的应用，非负数的性质，以及等腰直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．