Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒

5

3

个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的

1

2

？
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

Answer 1

分析：（1）首先表示出四边形面积以及求出三角形面积，进而解方程得出即可；
（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形；
（3）利用（2）中所求，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定?PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵直线PD⊥AC，
∴BC∥PD，
∴四边形BQPD的面积为：

1

2

（BQ+DP）×PC=

1

2

（8-2t+

4

3

t）×（6-t）
△ABC面积为：

1

2

×AC×BC=

1

2

×6×8=24，
∴四边形BQPD的面积为△ABC面积的

1

2

时：

1

2

×24=（8-

2

3

t）×（6-t），
解得：t₁=9+3

5

，t₂=9-3

5

，
∵当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，
∴t≤4，
∴t₁=9+3

5

不合题意舍去，
∴当t为9-3

5

时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的

1

2

；

（2）存在，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，
∴

AD

AB

=

AP

AC

，即

AD

10

=

t

6

，
∴AD=

5

3

t，
∴BD=AB-AD=10-

5

3

t，
∵BQ∥DP，
∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，
即8-2t=

4t

3

，解得：t=

12

5

．
存在t=

12

5

时，使四边形PDBQ为平行四边形；

（3）不存在，
理由：当t=

12

5

时，PD=

4

3

×

12

5

=

16

5

，BD=10-

5

3

×

12

5

=6，
∴DP≠BD，
∴?PDBQ不能为菱形．
设点Q的速度为每秒v个单位长度，
则BQ=8-vt，PD=

4

3

t，BD=10-

5

3

t，
要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，
当PD=BD时，即

4

3

t=10-

5

3

t，解得：t=

10

3

当PD=BQ，t=

10

3

时，即

4

3

=8-

10

3

，解得：v=

16

15

当点Q的速度为每秒

16

15

个单位长度时，经过

10

3

秒，四边形PDBQ是菱形．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．