Question

整数x，y满足方程2xy+x+y=83，则x+y=

 

或

 

．

Answer 1

分析：本题首先通过将2xy+x+y=83等号左右两边同乘以一个数加、上一个数，从而使左边能够分解因式，右边变为有很少几对两整数相乘的形式．从而根据两边的对应关系，进一步求得x、y的值，进而求得x+y的值．

解答：解：∵2xy+x+y=83?4xy+2x+2y=166?4xy+2x+2y+1=167?（2x+1）（2y+1）=167，
∵167是质数，
∴

2x+1=1 2y+1=167

，

2x+1=-1 2y+1=-167

，

2x+1=167 2y+1=1

，

2x+1=-167 2y+1=-1

，
解得

x=0 y=83

，

x=83 y=0

，

x=-1 y=-84

，

x=-84 y=-1

∴x+y=83或者-85
故答案为83，-85．

点评：本题考查一元二次方程的整数根与有理根、质数与合数、解二元一次方程．解决本题的关键是将原方程经过适当的变换，转化为左右两边都能分解因式或因数的形式，从而求得结果．