Question

如图，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，联结GD，判断△AGD的形状并证明．

Answer 1

解：判断：△AGD是直角三角形．
证明：连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB，HF=AB，
∴∠1=∠3，
同理，HE∥CD，HE=CD，
∴∠2=∠EFC，
∵AB=CD，
∴HF=HE，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠EFC，
∵∠EFC=60°，
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，
∴△AGF是等边三角形，
∴AF=FG，
∵AF=FD，
∴GF=FD，
∴∠FGD=∠FDG=30°，
∴∠AGD=90°，
即△AGD是直角三角形．
分析：连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，利用中位线的性质及等腰三角形的性质，在△AFG中找到各角之间的关系，继而可得△AGF是等边三角形，推出∠AGD=90°即可得出结论．
点评：本题考查了三角形的中位线定理及等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线，利用三角形的中位线定理及平行线的性质建立各角之间的关系．