Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+3x﹣a2+a+2（a＞1）的图象交x轴于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为E．

（1）如图1，求线段AB的长度（用含a的式子表示）及抛物线的对称轴；

（2）如图2，当抛物线的图象经过原点时，在平面内是否存在一点P，使得以A、B、E、P为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，求出P点坐标；如果不能，请说明理由；

（3）如图3，当a＝3时，若M点为x轴上一动点，连结MC，将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN，连结AC、CN、AN，则△ACN周长的最小值为多少？

Answer 1

【答案】（1）AB＝2a﹣1，抛物线的对称轴为x＝﹣；（2）存在，P点坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）；（3）4+4．

【解析】

（1）当y＝0时，x2+3x﹣a2+a+2＝0，则[x﹣（a﹣2）][x+（a+1）]＝0，解得x＝a﹣2，或x＝﹣a﹣1，进而求出AB的长度和抛物线的对称轴；

（2）由抛物线的图象经过原点，a＞1，得出a＝2，此时A（﹣3，0），B（0，0），

E（-，﹣），①若AB为平行四边形的边，则P点坐标为（，﹣）或（，﹣）；②若AB为平行四边形的对角线，则P点坐标为（﹣，﹣）；

（3）当a＝3时，y＝x2+3x﹣4，设M（t，0），证△MNE≌△CMF（AAS），得出MF＝CF＝OM＝﹣t，EN＝MF＝OC＝4，证出点N在直线l：y＝﹣x+4上运动，设直线l交x轴于点G，则G（4，0），若使△ACN的周长最小，即使AN+CN最小，作点A关于l的对称点A'，连接A'C，则AN＝A'N，得出AN+CN最小＝A'C，求出AG＝8，AA'＝，AC＝，由勾股定理得出A'C＝，进而得出答案．

解：（1）当y＝0时，x2+3x﹣a2+a+2＝0，

∴[x﹣（a﹣2）][x+（a+1）]＝0，

∴x＝a﹣2，或x＝﹣a﹣1，

∵点A在点B左侧，

∴A（﹣a﹣1，0），B（a﹣2，0），

∴AB＝a﹣2﹣（﹣a﹣1）＝2a﹣1，

抛物线的对称轴为x＝＝﹣，即抛物线的对称轴为x＝﹣；

（2）存在，理由如下：

∵抛物线y＝x2+3x﹣a2+a+2（a＞1）的图象经过原点，a＞1，

∴﹣a2+a+2＝0，

解得：a＝2，或a＝﹣1（舍去），

∴a＝2，

∴A（﹣3，0），B（0，0），y＝x2+3x＝（x+）2﹣，

∴E（﹣，﹣），

分情况讨论，如图2所示：

①若AB为平行四边形的边，则P点坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）；

②若AB为平行四边形的对角线，则P点坐标为（﹣，﹣）；

综上所述，在平面内存在一点P，使得以A、B、E、P为顶点的四边形成为平行四边形，P点坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）；

（3）当a＝3时，y＝x2+3x﹣4，

此时A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣4），

∴OA＝4，OC＝4，

设M（t，0），

∵将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN，

∴OM＝﹣t，

过点M作EF⊥x轴，过点N作NE⊥EF于点E，过点C作CF⊥EF于点F，如图3所示：

则∠MEN＝∠CFM＝90°，

由旋转的性质得：MN＝MC，∠CMN＝90°，

∴∠EMN+∠CMF＝∠CMF+∠FCM＝90°，

∴∠EMN＝∠FCM，

在△MNE和△CMF中，

∴△MNE≌△CMF（AAS），

∴MF＝CF＝OM＝﹣t，EN＝MF＝OC＝4，

∴点N的横坐标为Nx＝4+t，点N的纵坐标为Ny＝﹣t，

∴y＝﹣x+4，

∴点N在直线l：y＝﹣x+4上运动，

设直线l交x轴于点G，则G（4，0），

若使△ACN的周长最小，即使AN+CN最小，

∴作点A关于l的对称点A'，连接A'C，A'N，

则AN＝A'N，

当A'、N、C三点共线时，AN+CN最小＝A'C，

由题意得：∠A'AO＝45°，∠CAO＝45°，

∴∠CAA'＝90°，

∵G（4，0），

∴AG＝OA+OG＝8，AA'＝，

∵AC＝＝，

∴A'C＝＝，

∴A'C+AC＝+，

∵△ACN的周长＝AN+CN+AC，

∴△ACN周长的最小值为A'C+AC＝4+4．