Question

5．某公司采购某商品60箱销往甲乙两地，已知某商品在甲地销售平均每箱的利润y₁（百元）与销售数量x（箱）的关系为y₁=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{10}x+5（0＜x≤20）\\-\frac{1}{40}x+75（20≤x＜60）\end{array}\right.$ 在乙地销售平均每箱的利润y₂（百元）与销售数量t（箱）的关系为y₂=$\left\{\begin{array}{l}6（0＜t≤30）\\-\frac{1}{15}t+8（30≤t＜60）\end{array}\right.$
（1）将y₂转换为以x为自变量的函数，则y₂=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{15}x+4}&{（0＜x≤30）}\\{6}&{（30≤x＜60）}\end{array}\right.$；
（2）设某商品获得总利润W（百元），当在甲地销售量x（箱）的范围是0＜x≤20时，求W与x的关系式；（总利润=在甲地销售利润+在乙地销售利润）
（3）经测算，在20＜x≤30的范围内，可以获得最大总利润，求这个最大总利润，并求出此时x的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用采购某商品60箱销往甲乙两地，表示出t与x的关系即可，进而代入y₂求出即可；
（2）利用（1）中所求结合自变量取值范围得出W与x的函数关系式即可；
（3）利用（1）中所求结合自变量取值范围得出W与x的函数关系式，进而利用函数增减性求出函数最值即可．

解答 解：（1）∵某公司采购某商品60箱销往甲乙两地，在甲地销售数量x（箱），
∴在乙地销售数量t=60-x，
①当0＜t≤30，即0＜60-x≤30，
解得：30≤x＜60，此时y₂=6；
②当30≤t＜60，即30≤60-x＜60，
解得：0＜x≤30，
此时y₂=-$\frac{1}{15}$（60-x）+8=$\frac{1}{15}$x+4；
综上，${y_2}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{15}x+4（0＜x≤30）\\ 6\;\;\;（30≤x＜60）\end{array}\right.$．

（2）综合y₁=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{10}x+5（0＜x≤20）\\-\frac{1}{40}x+75（20≤x＜60）\end{array}\right.$ 和（1）中 y₂，
当对应的x范围是0＜x≤20 时，
W₁=（$\frac{1}{10}$x+5）x+（$\frac{1}{15}$x+4）（60-x）
=$\frac{1}{30}$x²+5x+240；

（3）当20＜x≤30 时，
W₂=（-$\frac{1}{40}$x+75）x+（$\frac{1}{15}$x+4）（60-x）
=-$\frac{11}{120}$x²+75x+240
∵x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{4500}{11}$＞30，
∴W在20＜x≤30随x增大而增大，
∴当x=30时，W₂取得最大值为2407.5（百元）．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法等知识，得出W与x的函数解析式是解题关键．