Question

19．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（-$\sqrt{3}$，3），反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． -4$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． -2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 延长AC交y轴于E，由已知得到∠COE=30°，OC=2$\sqrt{3}$如图，根据菱形的性质得AC∥OB，则AE⊥y轴，接着根据菱形的性质得OB=OC=2$\sqrt{3}$，∠BOA=30°，于是在Rt△BDO中可计算出BD=2，所以D点坐标为（-2$\sqrt{3}$，2），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值．

解答 解：延长AC交y轴于E，如图，
∵菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，
∴AC∥OB，
∴AE⊥y轴，
∵C（-$\sqrt{3}$，3），
∴OC=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，∠EOC=30°，
∴∠BOC=60°，
∵四边形OBAC为菱形，
∴∠AOB=∠AOC，OB=OC=2$\sqrt{3}$，AC∥OB，
∴∠COE=30°，
在Rt△BDO中，
∵BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=2，
∴D点坐标为（-2$\sqrt{3}$，2），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点D，
∴k=-2$\sqrt{3}$×2=-4$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 本题考查了菱形的性质：；菱形的四条边都相等，并且每一条对角线平分一组对角；含30度的直角三角形三边的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，准确作出辅助线，求得点D的坐标是关键．