Question

如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（6，0），（0，2），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-+b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

Answer 1

解：（1）若直线经过点A（6，0）时，则b=3，
若直线经过点B（6，2）时，则b=5，
若直线经过点C（0，2）时，则b=2，
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即2＜b≤3时，
如图1，此时E（2b，0），
∴S=OE•OC=×2b×2=2b；
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即3＜b＜5时，
如图1，此时E（6，b-3），D（2b-4，2），
∴CD=2b-4，BD=6-CD=10-2b，AE=b-3，BE=AB-AE=5-b，
∴S=S_矩形OABC-S_△OCD-S_△DBE-S_△OAE=6×2-×2×（2b-4）-×（10-2b）×（5-b）-×6×（b-3）=5b-b²，
∴S与b的函数关系式为：S=；

（2）如图3，设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形，
根据轴对称知，∠MED=∠NED，
又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题易知，tan∠DEN=，DH=2，
∴HE=4，
设菱形DNEM的边长为a，由勾股定理知：a²=（4-a）²+2²，
∴a=，
∴S_{四边形DNEM}=NE•DH=5，
∴四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积始终为5．
分析：（1）首先求得直线经过点A，B，C时，b的值；然后分别从若直线与折线OAB的交点在OA上时，即2＜b≤3时与若直线与折线OAB的交点在BA上时，即3＜b＜5时分析求解，即可求得S与b的函数关系式；
（2）首先设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．易得四边形DNEM为菱形，又由tan∠DEN=，DH=2，设菱形DNEM的边长为a，由勾股定理知：a²=（4-a）²+2²，可求得a的值，继而求得重叠部分的面积．
点评：此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、利用的判定与性质、三角形的面积以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合、分类讨论思想与方程思想的应用．