Question

【题目】如图，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)经过A(4，0)和B(0，4)两点，其顶点为C.

(1)求该抛物线的表达式及其顶点C的坐标；

(2)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内．

①设△ABM的面积为S，试求S的最大值；

②若S为整数，则这样的M点有 个．

Answer 1

【答案】(1)抛物线表达式为y＝－x2＋x＋4,顶点坐标为(1， );

(2) ①S△ABM的最大值为4; ②3.

【解析】试题分析： 先利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标，再设交点式 然后把点坐标代入求出即可得到抛物线的解析式，再把解析式配成顶点式可得的坐标；

①过点作轴交于点，如图，利用待定系数法求出直线的解析式，则可设 则 于是用可表示出，再利用 得到与的二次函数，然后根据二次函数的性质求解；
②在的取值范围内找出整数使对应的函数值为整数即可确定点的位置．

试题解析： ∵抛物线的对称轴为直线 抛物线与轴的一个交点为

∴抛物线与轴的另一个交点为

设抛物线的解析式为

把代入得

解得

∴抛物线的解析式为

即

∴抛物线的顶点的坐标为

(2)①过点作轴交于点，如图，

设的解析式为把代入得

解得

∴直线的解析式为

设则

∴当时， 有最大值，最大值为；

②

∴当时， 为整数，

即这样的点有个.

故答案为.