Question

对于抛物线y=-mx²-4mx-n（m≠0）与x轴的交点为A（-1，0），B（x₂，0），则下列说法：
①一元二次方程mx²+4mx+n=0的两根为x₁=-1，x₂=-3；
②原抛物线与y轴交于C点，CE∥x轴交抛物线于E点，则CE=4；
③点D（2，y₁），点F（-6，y₂）在原抛物线上，则y₂≤y₁；
④抛物线y=mx²+4mx+n与原抛物线关于x轴对称．
其中正确的说法有（　　）

Answer 1

分析：先求出抛物线y=-mx²-4mx-n（m≠0）的对称轴为直线x=-2，根据抛物线的对称性得到x₂=-3，再根据抛物线与x轴的交点得到一元二次方程mx²+4mx+n=0的两根为x₁=-1，x₂=-3；由于C点到对称轴的距离为2，所以当CE∥x轴交抛物线于E点，则CE=4；由于点D（2，y₁）和点F（-6，y₂）关于直线x=-2对称，所以y₂=y₁；先确定两抛物线的顶点坐标（-2，4m-n）和（-2，-4m+n），然后根据抛物线的性质和关于x轴对称的点的坐标特征可判断抛物线y=mx²+4mx+n与原抛物线关于x轴对称．

解答：解：抛物线y=-mx²-4mx-n（m≠0）的对称轴为直线x=-

-4m

2×(-m)

=-2，
∵抛物线y=-mx²-4mx-n（m≠0）与x轴的交点为A（-1，0），B（x₂，0），
∴x₂=-3，
∴一元二次方程mx²+4mx+n=0的两根为x₁=-1，x₂=-3，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-2，
∴C点到对称轴的距离为2，
∴当抛物线与y轴交于C点，CE∥x轴交抛物线于E点，则CE=4，所以②正确；
∵点D（2，y₁）和点F（-6，y₂）关于直线x=-2对称，则y₂=y₁，所以③错误；
④y=-mx²-4mx-n=-m（x+2）²+4m-n，而y=mx²+4mx+n=m（m+2）²-4m+n，
点（-2，4m-n）与点（-2，-4m+n）关于x轴对称，
∴抛物线y=mx²+4mx+n与原抛物线关于x轴对称，所以④正确．
故选D．

点评：本题考查了抛物线与x轴交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标；二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系，△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．