Question

1．如图所示，正六边形ABCDEF中，P是ED上一点，直线DC与AP、AB延长线分别相交于点N、M．若三角形AMN和正六边形ABCDEF的面积相等，EP：PD=1：2．

Answer 1

分析 连接AE，过点F做FG⊥AE于点G，设正六边形ABCDEF的边长为a，△NPD的高为h，利用a表示出六边形的面积，再用a表示出h的值，根据△NPD∽△NAM可得出PD的长，进而可得出PE的长，由此可得出结论．

解答 解：连接AE，过点F做FG⊥AE于点G，设正六边形ABCDEF的边长为a，△NPD的高为h，
∵AE=2EG=2EF•cos∠AEF=2a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$a，
S_{六边形ABCD}=6×$\frac{1}{2}$a×$\frac{\sqrt{3}a}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{3}$．
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠CBM=∠BCM=60°，
∴△BMC是等边三角形，
∴BM=a．
∵△AMN和正六边形ABCDEF的面积相等，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM×（AE+h）=$\frac{1}{2}$×2a×（$\sqrt{3}$a+h）=$\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{2}$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$．
∵ED∥AB，
∴△NPD∽△NAM，
∴$\frac{PD}{AM}$=$\frac{h}{h+\sqrt{3}a}$，即$\frac{PD}{2a}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\frac{\sqrt{3}a}{2}+\sqrt{3}a}$，解得PD=$\frac{2a}{3}$，
∴PE=$\frac{1}{3}$a，
∴EP：OD=1：2．
故答案为：1：2．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，利用正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．