Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．易得DE=AD+BE（不需证明）．
（1）若直线CE绕C点旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE、AD、BE之间的数量关系，并说明理由；
（2）若直线CE绕C点旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE、AD、BE之间的数量关系（不需证明）．

Answer 1

解：（1）不成立．
DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE，理由如下：如图2，
∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
又∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
∵AC=CB，∠CAD=∠BCE，∠ADC=∠CEB=90°
∴
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=AD-BE；

（2）DE、AD、BE之间的关系是DE=BE-AD．
分析：（1）DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE，理由如下：由∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，则∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，得到∠CAD=∠BCE，可证得△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，即有DE=AD-BE；
（2）DE、AD、BE之间的关系是DE=BE-AD．证明的方法与（1）一样．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质．