Question

如图，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，C点的坐标为（0，4）。
（1）求A′点的坐标；
（2）求过C，A′，A三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以O，A，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点A′作A′D垂直于x轴，垂足为D则四边形OB′A′D为矩形， 在△A′DO中， A′D=OA′·sin∠A′OD=4×sin60°= OD=A′B′=AB=2 ∴点A′的坐标为（2，）；
（2）∵C（0，4）在抛物线上， ∴c=4 ∴y=ax2+bx+4， ∵A（4，0），A′（2，）， 在抛物线y=ax2+bx+4上 ∴ 解之得 ∴所求解析式为；
（3）①若以点O为直角顶点，由于OC=OA=4，点C在抛物线上，则点C（0，4）为满足条件的点； ②若以点A为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（4，4）或（4，-4），代入抛物线解析式中 知此两点不在抛物线上； ③若以点P为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（2，2）或（2，-2），代入抛物线解析式中 知此两点不在抛物线上， 综上述在抛物线上只有一点P（0，4）使△OAP为等腰直角三角形。