Question

15．如图，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N．
（1）求证：AE=BD；
（2）连接MN，求证：MN∥BE；
（3）若把△DCE绕点C顺时针旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为60°的性质可求得△BCD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得AE=BD．
（2）△CMN是等边三角形，由△BCD≌△ACE可知∠CBM=∠CAN，根据ASA可证明△BCM≌△ACN，得到CM=CN，又∠MCN=60°，可知△CMN是等边三角形，得到∠CMN=60°，由∠ACB=60°，得到∠CMN=∠ACB，所以MN∥BC．
（3）根据题意画出图形，证明方法与（1）相同．

解答 （1）证明：如图1中，∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACB+∠ACD++∠DCE=180，
∴∠ACD=60°，∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，
即∠BCD=∠ACE．
在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE．
∴BD=AE．

（2）证明：如图1中，连接MN，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBM=∠CAN．
在△BCM和△ACN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠CAN}\\{BC=AC}\\{∠ACB=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ACN，
∴CM=CN，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠CMN=60°，
∵∠ACB=60°，
∴∠CMN=∠ACB，
∴MN∥BC．

（3）解：成立AE=BD；理由如下：
如图2中，∵△ABC、△DCE均为等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD．

点评 本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用．解决本题的关键是证明三角形全等，属于中考常考题型．